Soal Vektor dan Peluang

1.VEKTOR

Pengertian vektor

Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan :

Atau dapat juga dinyatakan sebagai :

Dimana adalah vektor satuan.

Panjang Vektor

Jika titik A (x₁,y₁,z₁) dan B (x₂,y2,z2) maka vektor AB adalah :

Vektor Satuan

Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Jika vektor

maka vektor satuan dari a adalah:

Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar

a. Penjumlahan atau pengurangan vektor

Contoh :

Diketahui vektor

Nilai

Jawab :

b. Perkalian Skalar dengan vektor

Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor

a. Perkalian Skalar

b. Cross Product

d. Rumus Pembagian

Contoh :
Diketahui titik A (-4, 1, 3 ), B (6, -4, 3) dan C (4, 5, -1) Titik R membagi AB sehingga 2AR = 3RB, vektor yang mewakili

adalah :
Jawab :

Soal vektor

Dua buah vektor A dan B mengapit sudut 120^o. Resultan kedua vektor adalah 20√3 N. Jika resultan tersebut membentuk sudut 30^oterhadap vektor A, maka besar A dan B adalah .....

A. 20 N dan 40 N D. 40√3 N dan 20√3 N

B. 40 N dan 20 N E. 20√3 N dan 20√3 N

C. 20√3 N dan 40√3 N

Pembahasan :
Jika digambarkan akan terlihat seperti di gambar di bawah ini :

Berdasarkan aturan sinus, maka berlaku :

   A =    B =    R

sin 90 sin 30 sin 120

   A =     R

sin 90 sin 120

A = 20√3

1 (-½)

⇒ A = 40√2 (½√2)

Besar vektor B dapat dihitung dengan persamaan :

   A =     R

sin 90 sin 120

A = 20√3

1 (-½)

⇒ A = 40√2 (½√2)
⇒ T₂= 500 N
Jadi, T₁= T₂ = 500 N.

Jawaban : C
Sebuah perahu menyeberangi sungai yang lebarnya 100 m dengan kelajuan 4 m/s tegak lurus terhadap arah arus sungai. Jika air sungai mengalir dengan kecepatan 3 m/s, maka jarak tempuh perahu tersebut sampai di seberang sungai adalah .....

A. 100 m D. 115 m

B. 105 m E. 125 m

C. 110 m

Pembahasan :
Dik : Vair = Va = 3m/s, Vperahu = Vp = 4 m/s, x = 100 m.

Karena perahu bergerak tegak lurus arah aliran sungai, maka sudut antara Va dan Vp adalah 90^o. Dengan begitu kecepatan resultannya dapat dihitung dengan menggunakan dalil Phytagoras sebagai berikut :
⇒ Vr = √Va² + Vp²

⇒ Vr = √3² + 4²

⇒ Vr = 5 m/s.

Sudut yang dibentuk resultan dengan vektor kecepatan air adalah :

⇒ sin a = Vp

Vr

⇒ sin a = 4

5

⇒ a = 53^o.

Dengan demikian, jarak yang ditempuh oleh perahu (s) adalah :

⇒ sin 53^o = x

s

⇒ 4 = 100

5 s

⇒ s = 125 m.

Jawaban : E.
Dua buah vektor gaya P dan R mengapit sudut 53^o dan menghasilkan resultan sebesar 40√2 N. Jika P : R = 1 : 5, maka besar vektor P dan Q adalah .....

A. 6 N dan 6 N D. 8 N dan 4 N

B. 2 N dan 10 N E. 4 N dan 8 N

C. 10 N dan 2 N

Pembahasan :
Dik : R = 15 N, P/R = 1/5, maka R = 5P

Berdasarkan aturan cosinus :
⇒ R = √P² + R² + 2PR cos θ
⇒ R = √P² + (5P)² + 2P(5P) cos 53^o
⇒ R = √P² + 25P² + 10P² (⅗)
⇒ R = √32P²
⇒ R = √(16 x 2)P²
⇒ 40√2 = 4P√2

⇒ P = 10N

Dengan demikian, besar vektor Q adalah :

⇒ Q = ⅕ P
⇒ Q = ⅕ (10)
⇒ Q = 2 N

Jawaban : C
Dua buah vektor saling membentuk sudut 67^o. Jika resultan membentuk sudut 37^o terhadap vektor kedua yang besarnya 15 N, maka besar vektor pertama adalah .....

A. 18 N D. 24 N

B. 20 N E. 30 N

C. 22 N

Pembahasan :
Dik : F2 = 15 N.

Berdasarkan aturan sinus :

F2 = F1 = R

sin 30^o sin 37^o sin 67^o

15 = F1

sin 30^o sin 37^o

15 = F1

½ ⅗

F1 =18 N

Jawaban : A
Tiga buah vektor A, B, dan C yang setitik tangkap masing-masing besarnya 15 N. Vektor B berada di antara A dan C. Jika sudut antara A dan B sama dengan sudut antara B dan C yaitu 60^o, maka resultan ketiga vektor tersebut adalah ....

A. 10 D. 40

B. 20 E. 50

C. 30

Pembahasan :
Diketahui : A = B = C = 15 N.

Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa A + C = B. Dengan demikian resultannya adalah :
⇒ R = A + B + C
⇒ R = B + B
⇒ R = 2B
⇒ R = 2(15)
⇒ R = 30 N.

Jawaban di atas juga dapat dibuktikan dengan aturan cosinus. Sudut yang dibentuk oleh A dan C adalah 120^o, sehingga :
⇒ A + C = √A² + C² + 2A.C cos θ
⇒ A + C = √A² + A² + 2A.Acos 120^o
⇒ A + C = √2A² + 2A² (-½)
⇒ A + C = A
Karena A = B = C = 15 N, maka :
⇒ R = A + B + C
⇒ R = A + C + B
⇒ R = A + B
⇒ R = 15 N + 15 N
⇒ R = 30 N.

Jawaban : C

2.PELUANG

1) Permutasi
Permutasi adalah susunan unsur-unsur yang berbeda dalam urutan tertentu. Pada permutasi urutan diperhatikan sehingga
Permutasi k unsur dari n unsur adalah semua urutan yang berbeda yang mungkin dari k unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda. Banyak permutasi k unsur dari n unsur ditulis atau .
Permutasi siklis (melingkar) dari n unsur adalah (n-1) !
Cara cepat mengerjakan soal permutasi

dengan penulisan nPk, hitung 10P4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur, yaitu 10.9.8.7
jadi 10P4 = 10x9x8x7 berapa itu? hitung sendiri
Contoh permutasi siklis :

Suatu keluarga yang terdiri atas 6 orang duduk mengelilingi sebuah meja makan yang berbentuk lingkaran. Berapa banyak cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan dengan cara yang berbeda?
Jawab :
Banyaknya cara agar 6 orang dapat duduk mengelilingi meja makan dengan urutan yang berbeda sama dengan banyak permutasi siklis (melingkar) 6 unsur yaitu :

2) Kombinasi
Kombinasi adalah susunan unsur-unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA. Dari suatu himpunan dengan n unsur dapat disusun himpunan bagiannya dengan untuk Setiap himpunan bagian dengan k unsur dari himpunan dengan unsur n disebut kombinasi k unsur dari n yang dilambangkan dengan ,
Contoh :
Diketahui himpunan .
Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan A yang memiliki 2 unsur!
Jawab :

Banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 2 unsur adalah C (6, 2).

Cara cepat mengerjakan soal kombinasi

dengan penulisan nCk, hitung 10C4
kita langsung tulis 4 angka dari 10 mundur lalu dibagi 4!, yaitu 10.9.8.7 dibagi 4.3.2.1
jadi 10C4 = 10x9x8x7 / 4x3x2x1 berapa itu? hitung sendiri
Ohya jika ditanya 10C6 maka sama dengan 10C4, ingat 10C6=10C4. contoh lainnya
20C5=20C15
3C2=3C1
100C97=100C3
melihat polanya? hehe semoga bermanfaat!

Peluang Matematika
1. Pengertian Ruang Sampel dan Kejadian
Himpunan S dari semua kejadian atau peristiwa yang mungkin mucul dari suatu percobaan disebut ruang sampel. Kejadian khusus atau suatu unsur dari S disebut titik sampel atau sampel. Suatu kejadian A adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel S.

Contoh:
Diberikan percobaan pelemparan 3 mata uang logam sekaligus 1 kali, yang masing-masing memiliki sisi angka ( A ) dan gambar ( G ). Jika P adalah kejadian muncul dua angka, tentukan S, P (kejadian)!
Jawab :
S = { AAA, AAG, AGA, GAA, GAG, AGG, GGA, GGG}
P = {AAG, AGA, GAA}
2. Pengertian Peluang Suatu Kejadian
Pada suatu percobaan terdapat n hasil yang mungkin dan masing-masing berkesempatan sama untuk muncul. Jika dari hasil percobaan ini terdapat k hasil yang merupakan kejadian A, maka peluang kejadian A ditulis P ( A ) ditentukan dengan rumus :

Contoh :
Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, tentukanlah peluang percobaan kejadian muncul bilangan genap!
Jawab : S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} maka n ( S ) = 6
Misalkan A adalah kejadian muncul bilangan genap, maka:
A = {2, 4, 6} dan n ( A ) = 3

3. Kisaran Nilai Peluang Matematika
Misalkan A adalah sebarang kejadian pada ruang sampel S dengan n ( S ) = n, n ( A ) = k dan
Jadi, peluang suatu kejadian terletak pada interval tertutup [0,1]. Suatu kejadian yang peluangnya nol dinamakan kejadian mustahil dan kejadian yang peluangnya 1 dinamakan kejadian pasti.
4. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Jika A adalah suatu kejadian pada frekuensi ruang sampel S dengan peluang P ( A ), maka frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah n x P( A ).

Contoh :
Bila sebuah dadu dilempar 720 kali, berapakah frekuensi harapan dari munculnya mata dadu 1? Jawab :
Pada pelemparan dadu 1 kali, S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } maka n (S) = 6.
Misalkan A adalah kejadian munculnya mata dadu 1, maka:
A = { 1 } dan n ( A ) sehingga :
Frekuensi harapan munculnya mata dadu 1 adalah

5. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Misalkan S adalah ruang sampel dengan n ( S ) = n, A adalah kejadian pada ruang sampel S, dengan n ( A ) = k dan Ac adalah komplemen kejadian A, maka nilai n (Ac) = n – k, sehingga :

Jadi, jika peluang hasil dari suatu percobaan adalah P, maka peluang hasil itu tidak terjadi adalah (1 – P).

Peluang Kejadian Majemuk
1. Gabungan Dua Kejadian
Untuk setiap kejadian A dan B berlaku :
Catatan : dibaca “ Kejadian A atau B dan dibaca “Kejadian A dan B”

Contoh :
Pada pelemparan sebuah dadu, A adalah kejadian munculnya bilangan komposit dan B adalah kejadian muncul bilangan genap. Carilah peluang kejadian A atau B!
Jawab :

2. Kejadian-kejadian Saling Lepas
Untuk setiap kejadian berlaku Jika . Sehingga Dalam kasus ini, A dan B disebut dua kejadian saling lepas.
3. Kejadian Bersyarat
Jika P (B) adalah peluang kejadian B, maka P (A|B) didefinisikan sebagai peluang kejadian A dengan syarat B telah terjadi. Jika adalah peluang terjadinya A dan B, maka Dalam kasus ini, dua kejadian tersebut tidak saling bebas.
4. Teorema Bayes
Teorema Bayes(1720 – 1763) mengemukakan hubungan antara P (A|B) dengan P ( B|A ) dalam teorema berikut ini :
5. Kejadian saling bebas Stokhastik
(i) Misalkan A dan B adalah kejadian – kejadian pada ruang sampel S, A dan B disebut dua kejadian saling bebas stokhastik apabila kemunculan salah satu tidak dipengaruhi kemunculan yang lainnya atau : P (A | B) = P (A), sehingga:

Sebaran Peluang
1. Pengertian Peubah acak dan Sebaran Peluang.
Peubah acak X adalah fungsi dari suatu sampel S ke bilangan real R. Jika X adalah peubah acak pada ruang sampel S denga X (S) merupakan himpunan berhingga, peubah acak X dinamakan peubah acak diskrit. Jika Y adalah peubah acak pada ruang sampel S dengan Y(S) merupakan interval, peubah acak Y disebut peubah acak kontinu. Jika X adalah fungsi dari sampel S ke himpunan bilangan real R, untuk setiap dan setiap maka:

Misalkan X adalah peubah acak diskrit pada ruang sampel S, fungsi masa peluang disingkat sebaran peluang dari X adalah fungsi f dari R yang ditentukan dengan rumus berikut :

2. Sebaran Binom
Sebaran Binom atau Distribusi Binomial dinyatakan dengan rumus sebagai berikut :

Dengan P sebagai parameter dan
Rumus ini dinyatakan sebagai:
untuk n = 0, 1, 2, …. ,n
Dengan P sebagai parameter dan
P = Peluang sukses
n = Banyak percobaan
x = Muncul sukses
n-x = Muncul gagal

6.                  Tiga keping mata uang logam yang sama dilempar

bersama-sama sebanyak 40 kali. Frekuensi harapan agar

munculnya 2 gambar di sebelah atas adalah ...

A. 10

B. 20

C. 25

D. 15

JAWAB :

P(dua gambar satu angka) = 1/4, maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = 1/4 x 40

      = 10 (A)

7.                  Dari 60 kali pelemparan sebuah dadu, maka frekuensi

harapan munculnya mata dadu faktor dari 6 adalah …

A. 10 kali

B. 20 kali

C. 30 kali

D. 40 kali

JAWAB :

P(faktor dari 6) = = maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = 2/3 x 60

      = 40 (D)

8.                  Dari 900 kali percobaan lempar undi dua buah dadu

bersama-sama, frekuensi harapan muncul mata dadu

berjumlah 5 adalah …

A. 300

B. 225

C. 180

D. 100

JAWAB :

P(mata dadu berjumlah 5) = 4/36 = 1/9 maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = 1/9 x 900

      = 100 (D)

9.                  Jika sebuah dadu dilempar 36 kali, maka frekuensi

harapan muncul mata dadu bilangan prima adalah …

A. 6 kali

B. 12 kali

C. 18 kali

D. 24 kali

JAWAB :

P(bilangan prima) = ½ maka

Fh = P(A) x banyak percobaan

      = ½ x 36

      = 18 (C)

10    sebuah dadu di lempar sebanyak 50 kali . frekuensi harapan munculnya mata dadu genap adalah

a. 22    b. 24    c. 25    d. 26

penyelesaian

S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } n ( S ) = 6

A = { 2 , 4 , 6 } n (A ) = 3

P ( A ) =
Fn = P( A ) x n
     = x 50 = 25

Jadi frekuensi harapan munculnya mata dadu genap adalah 25